5.6. Линейное программирование и рента.

Анализируя ренту, классики использовали модели, содержавшие всего два фактора производства: один постоянный, а другой  переменный. Так им удавалось разделить ренту факторов. Рикардо в одном случае считает переменным фактором участки земли (№1, №2, №3) с убывающим плодородием, к которым применяется неизменная порция капитала и труда (постоянный фактор). В другом случае к постоянному фактору (участок №1) прилагается переменное количество капитала и труда. Кларк в своих примерах рассматривает парные наборы из земли, капитала и труда.

В действительности предприятия используют много факторов, и совместно произведенный продукт надо делить между ними. Теоретически это можно сделать с применением производственной функции, как это показано в подразделах 5.3 и 5.4. Есть и другие возможности, напр., использование модели производственного планирования с применением линейного программирования, родоначальником которого является Л.В.Канторович – единственный нобелевский лауреат среди всех экономистов социалистических стран.

Производственные возможности предприятия (его производственная функция) задаются матрицей технологических коэффициентов, ограничениями по расходу факторов и, возможно, бюджету. Для принятия решений (оптимизации деятельности предприятия) необходимо еще знать цены продуктов и факторов, которые от предприятия не зависят.

Технологический способ определяется производимой продукцией и расходом факторов. Каждый способ может производить один или несколько продуктов. Для каждого способа устанавливается единица измерения его интенсивности. Это может быть единица продукции,  напр., производство центнера пшеницы, или время (час, сутки, месяц, год, напр., смена работы технологической линии), или любой иной измеритель. Технологические способы используют факторы производства, которые могут быть общими и специализированными, а также независимыми, взаимозаменяемыми и взаимодополняемыми. Для каждого способа определены используемые факторы и нормативы их расхода при единичной интенсивности. Способы отличаются между собой либо продукцией (номенклатурой, качеством, количеством), либо используемыми факторами (номенклатурой и нормативами расхода), либо и тем, и другим.

Напр., имеется три участка земли, производство пшеницы на каждом из них  это три различных способа. Или производство на одном участке пшеницы, ржи или овса  это также три различных способа. Объем использования каждого фактора ограничен сверху – нельзя израсходовать больше. Откуда берутся эти ограничения, предприятие знает само,  напр., по наличию земли, оборудования, бюджету и т.д. Некоторые факторы могут быть неограниченны, если предложение их для предприятия абсолютно эластично. Все же для общности будем считать, что ограничения сверху есть для всех факторов, но для некоторых из них оно может равняться бесконечности. Цель предприятия – максимизация валовой прибыли, а может быть валового продукта при фиксированном бюджете (валовых издержках).

Матрица технологических коэффициентов приведена на следующей схеме.

Обозначения схемы:

i = 1,..., m – номера факторов производства;

j = 1,..., n – номера технологических способов;

а_ij – технологический коэффициент, норматив расхода i-го фактора при единичной интенсивности j-го технологического способа;

b_i – ограничение сверху по расходу i-го фактора по всему предприятию, может равняться бесконечности, если ограничение отсутствует;

p_j – выпуск продукции в денежном выражении при единичной интенсивности j-го технологического способа;

х_j – плановая интенсивность j-го технологического способа, неизвестная (искомая) величина;

с_i – цена i-го фактора;

Q – валовой продукт в денежном выражении (выпуск);

Сформулируем экономико-математическую модель (ЭММ).

Найти – выпуск, при ограничениях сверху по использованию факторов.

..................................

..................................

x_j ≥ 0 – неотрицательность переменных.

Существуют программы для решения задач линейного программмирования на компьютере. В результате решения получают оптимальный план производства (x_l*,…x_i*,…x_m), т.е. оптимальные интенсивности технологических способов, и оптимальное значение целевой функции , а также двойственные оценки всех ограничений (v_l,…v_i,…v_m).

Не вдаваясь в подробности проблемы двойственности, отметим свойства двойственных оценок. Математически v_i – частная производная от целевой функции по i-му ограничению , но тогда в данной постановке задачи двойственная оценка есть предельный продукт i-го фактора производства совместно с содержащимся в нем капиталом. Обозначим его MQ_i. Предельный продукт есть средняя рента, произведенная данным фактором и содержащимся в нем капиталом.

Если решение найдено, то для i-го фактора величина *, есть плановый расход фактора. И если ограничение превращается в строгое неравенство то запас b_iоказывается излишним и v_i= 0 в этом случае. Но строгое неравенство означает, что предложение i-го фактора превышает спрос на него, т.е. предложение фактора абсолютно эластично и предельная рента этого фактора, естественно равна нулю. Если же ограничение превращается в равенство , то предельный продукт равен двойственной оценке MQ_i= v_i. Тогда v_i– предельная рента, произведенная i-м фактором совместно с капиталом.

Набор правых частей ограничений (b₁,…b_i,…b_m) может рассматриваться как набор факторов производства для предприятия. В самом деле, откуда взялись величины b_i? Это либо фактический запас фактора на предприятии, либо планируется довести плановый запас до такой величины, закупая или продавая фактор. В любом случае b_i – величина плановая. Оценить оптимальность набора помогут двойственные оценки. Если v_i = 0, значит и предельный продукт MQ_i = 0 и запас b_i избыточный. А избыток нужно продать, если он фактический или не покупать, если он плановый. Оптимальную величину b_i*, можно найти из условия MQ_i/c_i = 1+r, где r – банковская ставка процента. Считаем, что кредит ограничен только его ценой r. Если MQ_i/c_i > 1 +r, то взяв кредит по ставке r, нужно закупить i-й фактор в таком количестве, чтобы наступило равенство MQ_i/c_i = 1 + r. Если, наоборот, MQ_i/c_i<1 + r, нужно уменьшить величину b_i до наступления равенства MQ_i/c_i=1+r, а высвободившиеся средства разместить на депозите по ставке r.

Весь анализ можно представить следующим образом. Назначаются величины (b₁,…b_i,…b_m). Решается задача. Пользуясь двойственными оценками v_i, изменяем значения b_i. Уменьшаем те из них, где v_i/c_i<1+r, увеличиваем, если v_i/c_i>1+r. Подбор величин b_i, интуитивный. Снова решаем задачу, анализируем v_i т.д. Нет гарантий, что решение сойдется, но из нескольких вариантов можно выбрать лучший. В любом случае оптимальным набором факторов (b₁*,…b_i*,…b_m*) вляется такой, при котором для всех i выполняется условие

v_i/c_i= 1 + r.                (5.10) 

Этот вывод точно совпадает с тем, который был получен по производственной функции в подразделе 5.4.

В модели отсутствовали ограничения по кредиту, кроме его эффективности, и по спросу на продукцию предприятия. Эти ограничения легко вводятся в модель. Если кредит ограничен, то фиксирован бюджет B. Тогда в модель вводится ограничение

Двойственная оценка ограничения по бюджету, покажет предельную эффективность издержек. И снова для оптимума необходимо условие v_i/c_i = 1+r. Если есть ограничения по спросу на некоторые или на все продукты, то нужны будут технологические коэффициенты выхода продукции при каждом способе. Обозначим их d_ij, а ограничение по спросу (не больше)  g_i. Тогда вводятся ограничения , т.е. точно такие же, как и ограничения по факторам. В любом случае двойственные оценки ограничений по факторам – это их совместно с капиталом произведенные предельные продукты (ренты), а ограничений по продуктам – предельные издержки. Проблема в том, что при ужесточении ограничений может не оказаться ни одного допустимого решения. Тогда нужно ослаблять ограничения.