5.5. Пример анализа производственной функции

Возьмем производственную функцию того же вида, что и широко известная функция Кобба–Дугласа.

Q = ax₁^bx₂^c.                                                                              (5.7)

Q – валовой продукт предприятия в денежном выражении (выпуск);

(х₁, х₂) – набор переменных факторов производства;

х₁, х₂  – количества факторов в наборе;

a,b,c – числовые коэффициенты;

a,b,c >0 – коэффициенты неотрицательны;

b <1 и c <1 –  только при таких условиях имеет место убывающая предельная отдача от факторов;

b+c< 1 – только при таком условии будет убывающей предельная отдача от бюджета (издержек).

Другие величины, необходимые при решении задачи:

р₁ , р₂ – цены факторов;

В – бюджет;

В = р₁ х₁ + р₂ х₂ – бюджет равен издержкам.

Нужно найти оптимальный набор факторов (x₁*,x₂*), оптимальный бюджет (В*) и оптимальный продукт (Q*). Оптимальность оценивается по предельной эффективности производства , где MQi  – предельный продукт i-го фактора. Условие оптимальности λ = 1 + r, где r – банковская ставка процента.

Проблема изложена в предыдущем подразделе (5.4), не будем повторяться. Новое здесь только то, что производственная функция дана в явном виде. Как изложено в 5.4, нужно составить функцию Лагранжа, взять от нее частные производные, приравнять их нулю, и решить полученную систему уравнений при условии заданной величины бюджета (В = const). Опустив выкладки, получим:                     

x₁* = bB/(b+c)p₁                      (5.8)

x₂* = cB/(b+c)p₂

Экономический смысл решения – бюджет нужно разделить на две части пропорционально коэффициентам b и c, результат поделить на цены факторов. Добавив условие равенства предельной эффективности производства эффективности банковских депозитов (MQ_i/p_i= 1 + r), получим оптимальное решение:

B* = (b + c)(((1+r)/a)(p₁/b)^b(p₁/c)^c)^1/(b+c-1)                      (5.9)

Зная В*, можно найти значения (x₁*,x₂*), а подставив их в производственную функцию, получить оптимальный выпуск Q*.

Решим числовой пример. Пусть нужные для решения величины имеют следующие значения (табл. 5.1). Цены в тыс. руб.

Таблица 5.1

Искомые величины принимают следующие значения:

В* = 39910,7 тыс. руб. – оптимальный бюджет;

x₁* = 10728,7; x₂* =  9956,2.

Легко проверить, что p₁x₁  + p₂x₂  =  B*.

Q* = 212138,7 тыс. руб. – оптимальный продукт (выпуск).

Q₁* = p₁x₁* = 15020,2 тыс. руб. продукт (рента произведенная) первого переменного фактора.

Q₂* = p₂x₂* = 24890,5 тыс. руб. – рента второго фактора.

Q₁* + Q₂* = B* = 39910,7 тыс. руб. – продукт (рента произведенная) переменных факторов.

(1+ r) В* = 51883,9 тыс. руб. – продукт (рента произведенная) переменных факторов вместе с инвестированным в них капиталом.

Q* – (1+ r) В* = 160254,8 тыс. руб. – продукт (рента произведенная) постоянных факторов, включая инвестированный в них капитал и предпринимательский доход (экономическую предпринимательскую прибыль).

А как разделить оставшийся продукт между постоянными факторами производства? У Кларка все было просто – в каждом примере всего два фактора, один переменный, другой – постоянный. Предельный продукт переменного фактора, умноженный на его количество, есть валовой продукт переменного фактора, остаток – продукт постоянного. И не упрекнешь Кларка в чрезмерном упрощении производственной модели. Он ведь не писал инструкцию для предпринимателей, как делить доход между собственниками факторов. Для него важно было установить принцип, и сделал он это блестяще. В модели с производственной функцией может быть сколько угодно переменных факторов, предельный продукт каждого из них – частная производная от производственной функции. Остаток продукта, относящийся к постоянным факторам, с помощью производственной функции разделить между факторами нельзя, т.к. производная от постоянной величины равна нулю. Тут нужно пользоваться другими моделями.