5.4. Современная теория предельной производительности и рента

Рассматривается отдельное предприятие в составе экономики. Оно характеризуется производственной функцией, которая отражает зависимость выпуска продукции от используемого набора факторов производства. Предпринимателю известна производственная функция. Такое предположение часто встречает возражение. Но если предприниматель не может выявить связь между издержками и выпуском продукции, может ли он успешно действовать и предприниматель ли он? Производственная функция не обязательно, хотя желательно, должна выражаться формулой. Она может быть выражена в табличной форме, ее свойства можно выявить в результате экономического анализа деятельности предприятия. В дальнейших рассуждениях будем исходить из того, что производственная функция имеется в виде формулы. Но, как потом выяснится, в этом нет необходимости, достаточно знать свойства производственной функции.

Предприятие стремится оптимизировать свою деятельность. За критерий оптимальности принимается валовая прибыль, или, что то же самое, валовой прибавочный продукт в денежном выражении, т.е. превышение выпуска продукции над издержками. Известно, что прибыль не является абсолютным критерием деятельности предприятия, но в экономическом анализе такая идеализация допустима.

Начнем создавать экономико-математическую модель. Введем обозначения.

i = 1,..., m – номера (индексы) переменных факторов производства;

(x_l,…x_i,…x_m) – набор переменных факторов, используемых предприятием;

x_i– количество i - го фактора в наборе, переменная (искомая) величина;

Q– валовой продукт (выпуск) предприятия за год в денежном выражении;

Q = Q(x_l,…x_i,…x_m)  – производственная функция предприятия. Снова напоминаем, что Q измеряется в деньгах.

p_i– цена i-го фактора производства, постоянная (заданная для предприятия) величина;

В – годовой бюджет предприятия или его валовые переменные издержки; бюджет считается переменной величиной, т.к. финансы через банковскую систему перераспределяются между предприятиями оптимальным образом для всей экономики и каждого предприятия. Считаем, что постоянные факторы принадлежат предприятию и их продукт входит в доход предприятия. Если они арендованы, то доход от них передается собственнику и становится постоянными издержками предприятия;

r – банковская ставка процента, условно считается одинаковой как по кредитам, так и по депозитам; банки рассматриваются  некоммерческими организациями без всяких ограничений выдающие кредиты и принимающие вклады, т.е. кредит доступен всем предприятиям по единой ставке;

-  валовая экономическая прибыль предприятия; (по определению =Q-B), включающая ренту постоянных факторов, имеющихся у предприятия.

При известных ценах и производственной функции нужно найти максимум валовой прибыли, обозначим его *.

Оптимальному значению валовой прибыли соответствуют оптимальный выпуск Q*, оптимальный бюджет B* и оптимальный набор факторов производства (x_l*,…x_i*,…x_m*) .

Производственная функция – главная характеристика предприятия, поскольку определяет его производственные возможности. Будем рассматривать ее в двух видах:

1) Q = Q(x_l,…x_i,…x_m)  – развернутая производственная функция, отражающая зависимость выпуска в денежном выражении от набора переменных факторов в натуральном выражении;

2) Q=F(B) – свернутая производственная функция, отражающая зависимость выпуска от бюджета предприятия, т.е. валовых переменных издержек; предполагается, что каждому бюджету соответствует единственный оптимальный набор факторов. Будем считать, что каждая из этих функций обладает следующими свойствами.

1.Существует в некоторой области определения.

2. Непрерывна.

З. Дифференцируема.

4. Возрастает.

5. Вогнута, т.е. обладает свойством убывающей предельной отдачи.

Рис. 5.1.

На рис. 5.1. показана свернутая производственная функция. Оценим область ее определения. На рынке совершенной конкуренции спрос на продукцию предприятия абсолютно эластичен, т.е. не существует спросовых ограничений. Кроме того, для предприятия не ограничен кредит, точнее ограничен только ставкой процента. Поэтому предприятие может начинать производство с самой эффективной комбинации факторов, когда средние совокупные издержки предприятия (АТС) минимальны.
Такому состоянию соответствует минимальный бюджет Вmin, и минимальный выпуск Qmin. При этом рентабельность издержек наибольшая.
На рис. 5.2 показана зависимость средних совокупных и предельных издержек предприятия от выпуска в физическом выражении .
Горизонтальная линия при равновесной цене p* – это одновременно абсолютно эластичный график спроса на продукцию предприятия и график предельного дохода, т.к. каждая следующая единица продукции добавляет один и тот же доход  p*.

Рис. 5.2.

Q – выпуск в физическом выражении; p – цена продукта; p* – равновесная цена; c – издержки; МС – предельные издержки; АТС – средние совокупные издержки; МR – предельный доход.

Из микроэкономики известно, что кривые АТС и МС пересекаются в точке минимума АТС (точка А на рис. 5.2). Этой точке соответствует минимальный выпуск Qmin. Технически предприятие может производить и меньше Qmin , но ему это невыгодно, т.к. средние совокупные издержки будут больше минимально возможных. В точке Q = Qmin достигнуто оптимальное соотношение всех факторов производства, обеспечивающее минимальные средние совокупные издержки. При росте бюджета и выпуска постоянные факторы останутся неизменными, а переменные будут расти. Нарушится оптимальная пропорция между факторами: переменные факторы будут все хуже обеспечиваться постоянными. В результате будут расти средние совокупные издержки; именно поэтому производственная функция и обладает свойством убывающей предельной отдачи: каждая следующая единица бюджета (валовых переменных издержек) добавляет меньше продукта, чем предыдущая.

Таким образом, хотя производственная функция существует при значениях Q< Qmin, в дальнейшем мы анализируем ее в области Q≥Qmin , и здесь она, безусловно, обладает свойством убывающей предельной отдачи от издержек. В точке Q = Qmin бюджет В = Вmin, а факторы в наборе принимают минимальные значения (x_l^min,…x_i^min,…x_m^min).

Снова посмотрим на рис. 5.2. При увеличении выпуска сверх Qmin средние издержки будут расти, а средняя прибыль падать. Но до тех пор, пока предельные издержки меньше цены (МС < р*), каждая дополнительная единица продукции увеличивает валовую прибыль, несмотря на то, что средняя падает. В точке В пересечения графиков предельных издержек и предельного дохода MR = р* достигается максимум валовой прибыли; следовательно, имеют место оптимальный выпуск Q* , оптимальный бюджет В* и оптимальный набор факторов (x_l*,…x_i*,…x_m*). Именно эти величины нужно найти.

Обладает ли свойством убывающей предельной отдачи развернутая производственная функция Q = Q(x_l,…x_i,…x_m)?  Если взять произвольный (случайный) набор факторов и начать увеличивать количество одного из них, зафиксировав все остальные, то предельная отдача может быть как убывающей, так и возрастающей. Но если взять любой выпуск Q≥Qmin, найти оптимальный набор факторов для него, сделать один фактор переменным, зафиксировав все остальные, то предельная отдача будет убывающей в связи с ухудшением пропорций в наборе.

На рис. 5.3 показана функция выпуска Q в денежном выражении от фактора x_i при оптимальной пропорции остальных факторов и их неизменных количествах. Как было показано выше, эта функция Q=f(x_i) обладает свойством убывающей предельной отдачи отдачи. Дадим определение: предельный продукт фактора производства есть прирост (уменьшение) продукта в результате добавления (сокращения) фактора на единицу при неизменных количествах остальных факторов в наборе. Понятия “предельный продукт” и “предельная производительность” эквивалентны.

x_i - количество i-го фактора в наборе; Q_i-валовой продукт в денежном выражении;

∆x_i - приращение i-го фактора; ∆Q_i- приращение валового продукта в результате приращения i-го фактора.

Рис. 5.3.

Обозначим МQ_i   – предельный продукт i-го фактора. Тогда по определению:

Формула  МQ_i  дана для конечных приращений продукта и фактора. Если же перейти к бесконечно малым величинам, получим:

Предельный продукт фактора производства (предельная производительность) равен частной производной от производственной функции по данному фактору. Численно частная производная равна тангенсу угла наклона касательной к производственной функции. Т.к. производственная функция вогнутая, то с ростом количества фактора тангенс угла наклона уменьшается, а это и есть эффект убывающей предельной отдачи.

Частная производная МQ_i обладает замечательным свойством. Т.к. приращение получает только один фактор при неизменных количествах остальных, весь прирост продукта вызван данным фактором и по терминологии Кларка должен быть вменен ему. С другой стороны, т.к. приращение фактора бесконечно малое, пропорция факторов не нарушается, а значит, обеспеченность переменного фактора постоянными не изменяется.

Повторим задачу, которую пытаемся решить: найти набор переменных факторов производства, максимизирующий валовую прибыль. Этому набору (x_l*,…x_i*,…x_m*) соответствуют оптимальные бюджет В* и выпуск Q*, т.е. и  В, и Q являются переменными величинами. Но сначала решим более простую задачу: при заданных производственной функции, ценах и бюджете найти оптимальный набор факторов производства. Сначала считаем бюджет В (валовые переменные издержки) заданной величиной, а потом перейдем к переменному бюджету.

Запишем математическую модель задачи: найти max Q(x_l,…x_i,…x_m), при ограничении:

Назначаем B≥B_min и тем самым рассматриваем производственную функцию в ее области определения.

Производственная функция не имеет максимума. Выпуск можно наращивать до бесконечности с ростом количества факторов в наборе. Но при ограничении по бюджету такой максимум есть. Возникает задача на условный экстремум, которая решается с применением функции Лагранжа. Запишем ее:

; (5.1)

Функция Лагранжа получена из производственной функции добавлением к ней ограничения по бюджету, умноженному на дополнительную переменную Лагранжа λ. Математически λ – просто дополнительная переменная, значение которой определяется в результате решения задачи. Но λ имеет и экономический смысл – это предельная производительность издержек. Она показывает, насколько возрастет выпуск на дополнительную единицу издержек, т.е. на дополнительную единицу денег, затраченную на закупку переменных факторов производства.

Посмотрим на функцию Лагранжа. Для целей анализа представим себе, что закупка факторов осуществляется последовательно, каждый раз затрачивается единица денег. Так, естественно, никто не делает, но мы анализируем функцию Лагранжа. В начале закупок все x_i = 0 и функция принимает вид Z = λB. По мере роста закупок бюджет В будет сокращаться, а производственная функция Q(x_l,…x_i,…x_m),  расти. Когда бюджет будет израсходован, функция Лагранжа станет равной производственной функции. Z = Q(x_l*,…x_i*,…x_m*)  , принявшей максимальное значение.

Из доказанной в математике теоремы Лагранжа следует, что экстремум функции Лагранжа соответствует экстремуму производственной функции при действующих ограничениях. Чтобы найти экстремум, возьмем частные производные от функции Лагранжа по всем m+1 переменным (m факторов и λ) и приравняем их нулю:

(5.2)

Дабы убедиться, что будет получен именно максимум, а не минимум, нужно взять вторую производную и проверить ее знак. Достаточным условием максимума является отрицательный знак второй производной:

(5.3)

Т.к. производственная функция возрастающая и вогнутая на всей области определения, то первая производная положительна и убывает, а значит вторая производная меньше нуля. Следовательно, найденный экстремум является максимумом.

Получена система из m+1 уравнений при m+1 переменных. Если бы производственная функция была выражена в явном виде, решение системы уравнений дало бы оптимальный набор факторов(x_l*,…x_i*,…x_m*)  и значение λ*. Но производственная функция в явном виде не выражена, поэтому продолжим анализ, чтобы выявить условия, которым должен отвечать оптимальный набор факторов.

Выше было установлено, что частная производная от производственной функции есть предельный продукт фактора. А это значит, что . Заменив частные производные на предельные продукты, и произведя некоторые преобразования, получим:

(5.4)

Перепишем систему уравнений, кроме последнего, в другом виде:

(5.5)

Назовем полученное выражение необходимым условием равновесия предприятия на рынке факторов производства.

Оценим экономический смысл выражения . Здесь MQ_i– предельный продукт i-го фактора, настолько увеличится выпуск (выручка) от дополнительной единицы фактора, a p_i – цена этого же фактора. Инвестировав дополнительно в производство p_i, предприятие получит отдачу MQ_i. Но тогда – это эффективность вложения дополнительной единицы денег в расширение производства на данном предприятии. Следовательно, λ – предельная эффективность производства, и по ней можно определить оптимальный бюджет, посчитав его переменной величиной.

Производственная функция обладает эффектом убывающей предельной отдачи. С ростом бюджета, с расширением производства падает предельная эффективность производства λ, и наоборот. Но с чем ее сравнивать? Производственные инвестиции нужно сравнивать с портфельными. Если бюджет больше оптимального, то λ < 1+r, где r – банковская ставка процента по кредитам и депозитам, и, значит, можно увеличить валовую прибыль предприятия, сократив бюджет до такой величины, чтобы выполнялось условие λ = 1+r, а высвободившиеся средства разместить на депозите по ставке r. Если, наоборот, бюджет недостаточен, то λ > 1+r. Тогда можно увеличить валовую прибыль предприятия, взяв кредит по ставке r и увеличив бюджет до такой величины, чтобы выполнялось условие λ = 1+r.

Теперь можно сформулировать утверждение: при принятых выше условиях бюджет В*, выпуск Q* и набор переменных факторов производства (x_l*,…x_i*,…x_m*)   являются оптимальными тогда и только тогда, когда выполняется условие для всех i. Иными словами, предельные рентабельности издержек на все факторы должны быть равны между собой и равны банковской ставке процента.

Напомним вкратце принятые условия: все рынки совершенно конкурентные, действуют условия теоремы Коуза, существует производственная функция со свойством убывающей предельной отдачи от бюджета и каждого фактора, действие происходит в краткосрочном периоде и предприятие не может изменить постоянные факторы, которыми оно располагает.

Выразим λ как λ = 1+e. Тогда е – рентабельность издержек, т.е. норма прибыли на добавочную единицу издержек. Оптимум возникает при условии е = r, т.е. рентабельность издержек равна ставке процента. При этом условии производственные и портфельные инвестиции равноэффективны, разумеется, без учета рисков. Никакое перемещение финансов не в состоянии увеличить валовую прибыль.

Вернемся к выражению . Преобразуем его к виду MQ_i= p_i+ p_i r.Здесь p_i рыночная цена i-го фактора производства, значит доход собственника этого фактора, а по определению – это рента i-го фактора. Величина p_i r – это процент на капитал, инвестированный в единицу i-го фактора, значит это доход капиталиста или, что то же самое, рента финансового капитала. Если предприниматель взял капитал в кредит, он уплатит эту величину капиталисту. Если предприниматель использует собственный капитал, это будет его доход, его капитальная рента.

Проведенный анализ подтверждает выводы Кларка: “Капитал, воплощенный в строениях, машинах и судах, действительно увеличивается таким образом. Он приносит процент, но то, что приносят конкретные средства производства есть не процент, а рента. <…> Рента представляет собой совокупность валовых сумм, доставляемых капитальными благами, тогда как процент есть доход, доставляемей постоянным фондом капитала и выраженный как частица этого фонда”¹.

Вернемся к формуле MQ_i= p_i+ p_ir выражающей необходимое и достаточное условие оптимальности валового продукта, бюджета и набора факторов, посмотрим на нее глазами Кларка. Пусть номером i обозначена машина, используемая в производстве. Тогда MQ_i – это предельный (добавленный, прибавочный) продукт этой машины. Но машина – капитальное благо и одновременно воплощенный в ней капитал, как ценность. Тогда p_i– это цена годового использования машины, годовая арендная плата, если машина арендована или альтернативные издержки предпринимателя, если машина находится в его собственности. Еще одно название p_i – прокатная оценка. Арендная плата p_i  включает в себя амортизацию машины и доход от ее использования, т.е. ее предельный продукт как капитального блага. Но для годового использования машины нужно вложить (инвестировать) капитал, величиной p_i , который в оптимальном состоянии должен принести процент в размере rp_i.Итак, машина и воплощенный в ней капитал совместно произвели продукт MQ_i= p_i+ p_ir. Часть продукта, равная p_i, произведена машиной как капитальным благом и является рентой (доходом) ее собственника. Часть продукта, равная rp_i произведена капиталом как ценностью и является рентой (доходом) капиталиста, кем бы он ни был.

Аналогичные рассуждения можно провести для любого фактора. Пусть i обозначает участок земли, используемый в производстве хлеба. Тогда: MQ_i –   предельный продукт участка земли, p_i– земельная рента, т.е. продукт, созданный землей как физическим явлением (капитальным благом) и являющийся доходом землевладельца. Но предприниматель вложил в производство капитал размером p_i собственный или привлеченный, и этот капитал принес продукт равный rp_i, который является рентой ссудного капитала. Если i-й фактор это годовой труд одного работника, тогда этот работник вместе с капиталом, затраченным на его привлечение в производство, произвели за год MQ_i продукта. Часть этого продукта, равная p_i, – годовая заработная плата работника, а другая часть, равная rp_i – продукт капитала, его доход и его рента.

Как разделить доход MQ_i на ренты труда и капитала? Очень просто. Если вы не уплатите работнику его рыночную цену p_i, он уйдет от вас, ни производства, ни продукта не будет. Если вы не уплатите rp_i(процент за привлеченный капитал), не будет ни капитала, ни производства, ни продукта, ни зарплаты. А что если капитал собственный и платить процент никому не нужно? Вложив капитал p_i в привлечение труда, вы получите альтернативные издержки rp_i– столько можно получить, положив pi на депозит в банке по ставке r.

Итак, произведено Q* продукта в денежном выражении, его нужно разделить между всеми участниками производства. Сделаем это.

1. p_ix_i* –  продукт, произведенный i-м переменным фактором.

2. rp_ix_i*  – продукт, произведенный капиталом, инвестированным в  i-м факторе.

3. – продукт, произведенный всеми переменными факторами как капитальными благами без учета инвестированного в них капитала.

4. MQ_i*x_i*  – продукт, произведенный i – м фактором вместе с инвестированным в него капиталом.

5. - продукт, произведенный всеми переменными факторами вместе с инвестированным в них капиталом. Заменив MQ_i на , получим:

(5.6)

Итак, (1+r)B* – продукт всех переменных факторов производства вместе с капиталом, инвестированным в них.

6. Q*– (1+r)B*  – продукт постоянных факторов вместе с их капиталом. Если считать, что весь капитал (обозначим его К), инвестированный в производство, известен, а по условиям модели это так (совершенная информация), то продукт постоянных капитальных благ равен Q*–B*–rK*.

7. Q*–B*–rK* – продукт постоянных капитальных благ. Что значит “постоянных”? Блага постоянны только для данного предприятия и только в краткосрочном периоде, в долгосрочном они могут стать переменными. Это могут быть сельскохозяйственная земля, месторождение полезных ископаемых, здания и сооружения, оборудование и т.д. – все, количество чего не может быть изменено сейчас, при организации производства в текущем периоде. Можно считать и так: в постоянных капитальных благах воплощен основной капитал предприятия, а в переменных – оборотный.

8. Один вид капитальных благ присутствует в производстве всегда – труд предпринимателя. Его продукт входит в состав Q*–B*–rK*. Его доля в продукте – последняя после выделения продукта всех факторов, кроме предпринимательского труда.

Замечание о ценах: все цены, используемые в анализе, – не учетные, не бухгалтерские, а рыночные (экономические), текущие. Цена любого переменного фактора – текущая, рыночная. Цена любого капитального блага – текущая, восстановительная. Чистый продукт каждого фактора это его произведенная рента.

До сих пор производство ренты рассматривалось в условиях рынка совершенной конкуренции. Оказалось, что и в этом случае возникает абсолютная рента, если общее предложение какого-то фактора ограничено и интенсивность использования задействованного фактора доведена до верхнего предела, а спрос на продукт производства фактора продолжает расти и цена продукта растет тоже. Вероятно, такой рынок не является совершенно конкурентным и приближается к рынку монополистической конкуренции. Наиболее полно условия производства абсолютной ренты выявляются при анализе деятельности монополий.

Рассматривается подлинная монополия, дословно – один продавец. Странным образом в литературе пошло гулять утверждение, что рента есть следствие монопольного владения землей, причем под монопольной понимают частную собственность на землю. В рыночной экономике любой частный собственник монопольно владеет своим фактором (участком земли, строением, квартирой, своим трудом, своей долей капитала в товариществе или акционерном обществе), но он не монополист ни на рынке факторов, ни на рынке продуктов, если существуют заменители фактора (другие участки, строения, работники и т.д.). Титул монополиста заслуживает только тот субъект рынка, который единолично владеет всем количеством данного фактора, не имеющего заменителей. Он один будет производить и продавать продукт, при производстве которого не обойтись без его фактора, либо он продаст свой фактор, назначив за него монопольную цену.

Рис. 5.4

На рис. 5.4 показаны условия ценообразования для монополии. На нем:

FС – график спроса на продукцию монополии (прямая D);

FВ – график предельного дохода монополии; точка В делит пополам отрезок АС, доказательство известно и не приводится;

МС – кривая предельных издержек, она же  график предложения монополии:

G – точка пересечения графиков предельного дохода и предельных издержек, именно она определяет оптимальные условия производства;

HК – вертикальная линия через точку G;<;br />;

Q*M; – оптимальный объем производства монополии, максимизирующий ее валовую прибыль;

P*M – оптимальная цена монополии;

GК = MС* – предельные издержки в оптимальном состоянии;

НК = P*M;

НG = HК – GК = P*M – МС* = a – средняя абсолютная рента монополии. Определение то же самое, что дано в постулатах – средняя абсолютная рента есть превышение цены над предельными издержками.